Uncinetto iperbolico: finalmente una chiara spiegazione della geometria iperbolica

Quando mi capita di trovare sul web un post interessante, ben fatto, chiaro, stimolante, utile, insomma un articolo degno della prima pagina su google, lo condivido e lo pubblicizzo con molto piacere. Se poi questo post viene da un blog altrettanto valido meglio ancora! :-)

E’ quello che voglio fare oggi, incollando uno stralcio dell’unico post veramente chiaro che ho letto sulla geometria iperbolica, quella da cui nasce la tecnica che amo/amiamo tanto :-) dell’uncinetto iperbolico.

Il post di cui vi parlo è stato postato nel meraviglioso blog di Crochet Circus e lo potete leggere per intero cliccando qui. La parte che copio e incollo qui sotto è la descrizione della geometria iperbolica, descrizione che l’autrice del blog ha fatto in modo superlativo, io non avrei saputo fare di meglio, perciò complimenti!!!

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“[…] premessa sulla geometria iperbolica

Definiamo, intanto il concetto di curvatura nulla, positiva o negativa di una superficie.

(Ci viene in aiuto il Prof. Lazzarini che nel suo utilissimo blog ci dà spiegazioni molto intuitive, che qui sotto riporto per intero).

L’idea è quella di “schiacciare” la superfice sul piano. Quando cerchiamo di “appiattire” una superficie curva si danno tre possibilità:

Riusciamo ad appiattire la superfice, senza operare lacerazioni o sovrapposizioni. Diremo in questo caso che la superfice ha curvatura nulla (cioè in tutti punti della superficie la curvatura è nulla). Ad esempio qualsiasi regione di superfice cilindrica può essere resa perfettamente piatta ed ha quindi curvatura zero. Riflettete sul fatto che una superfice cilindrica può ottenersi arrotolando un foglio di carta. Può dispiacere ma le cose stanno proprio così: esistono delle superfici che siamo abituati a considerare curve ma che, tecnicamente, vanno considerate prive di curvatura.

Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle lacerazioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie sferica; possiamo pensare, affidandoci all’intuizione, che in questo caso ci sia “meno superficie” di quanto ne serva per essere appiattita. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura positiva.

Nella fotografia seguente vedete un pallone che è stato tagliato a metà, lungo una circonferenza massima. Provate ad appiattirlo: non ci riuscirete.

L’unico modo è quello di operare dei tagli radiali come vedete nella fotografia seguente (maggiore è il numero dei tagli, maggiore sarà l’aderenza al piano).

Come vedete tra un taglio e l’altro della superficie si vengono a creare degli spazi che corrispondono a superficie mancante.

Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle sovrapposizioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie a forma di sella; possiamo pensare, affidandoci di nuovo all’intuizione, che in questo caso ci sia “più superficie” di quanta possa stare nel piano. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura negativa.

Nella fotografia seguente vedete una superficie a sella.

Potete ottenerla facilmente procedendo in questo modo. Disegnate su un foglio di carta un cerchio e un settore circolare con lo stesso raggio del cerchio e un’ampiezza, diciamo, di 60 gradi (vedi figura seguente). Ritagliate il cerchio e il settore. Tagliate il cerchio lungo un suo raggio in modo che presenti una fessura. Inserite nella fessura il settore e fissatelo ai bordi della fessura con del nastro adesivo trasparente. Naturalmente questa operazione di inserimento non è possibile se si rimane nel piano (stiamo pretendendo di inserire altri 60 gradi in un angolo giro); ma potremo farlo se lascieremo flettere la superficie nella terza dimensione. Otterrete così una superficie a sella (è opportuno applicare del nastro anche sull’altra faccia della superficie). La realizzazione di questo modello è molto istruttiva: vi siete resi conto che una sella invade “più superficie” di quanta possa stare nel piano.

Ora provate ad appiattire la vostra sella sul piano, ad esempio appoggiandoci sopra un libro: vi renderete conto che si formano delle pieghe, delle sovrapposizioni, come vedete nella fotografia seguente.

Rieman nel 1854 dà questa definizione: “La Geometria Iperbolica può essere considerata la geometria intrinseca di una superficie con curvatura costantemente negativa che si estende indefinitamente in tutte le direzioni”. Su questo assunto si basa tutta la ricerca dei matematici che negli anni si sono dedicati a trovare la superficie iperbolica completa. Infatti, mentre è possibile trovare in natura esempi di superfici costantemente negative.

Tali superfici, purtroppo, non hanno la caratteristica di estendersi all’infinito. I matematici per molto tempo, dunque, asserirono, che non era possibile ottenere nello spazio a tre dimensioni euclideo, una superficie completa di un piano iperbolico (una superficie con curvatura costante negativa estesa all’infinito).

Nel 1954 Kuiper (un matematico tedesco) ipotizzò che una tale superficie potesse esistere, ma non spiegò come la si potesse costruire. Fu William Thurston nel 1970 ad avere l’idea di utilizzare strisce di carta (definite “anuli”) per descrivere un piano iperbolico nello spazio tridimensionale.

Taimina, nel suo libro spiega come realizzare il modello di carta con gli “anuli” , come descritto nella foto sopra.

Dal modello in carta Daina fu ispirata per realizzare il suo modello ad uncinetto; studiando gli anuli di carta, infatti, ella capì che, lavorando in modo da aumentare il numero di maglie in modo costante da una riga all’altra, e seguendo una definita proporzionalità, si otteneva un piano iperbolico sotto forma di modello ad uncinetto.

Il concetto è semplice e rivoluzionario al tempo stesso, perchè attraverso l’uso di una tecnica casalinga e alla portata di tutti, come l’uncinetto, si riesce a realizzare un modello tridimensionale che era stato considerato dagli studiosi irrealizzabile.”

Fonte: Crochet Circus

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E allora?

Che ne pensate?

Ora si che si capisce cos’è la geometria iperbolica!

Grazie ancora a Crochet Circus!!!

Free form crochet, uncinetto con forme libere

La settimana scorsa vi ho parlato dell’uncinetto iperbolico, ed oggi passiamo al free form, una  tecnica che, mentre a livello concettuale si può considerare in un certo senso agli antipodi rispetto all’iperbolico, a livello visivo può essere a volte molto simile, tanto che per alcuni manufatti è difficile riuscire a distinguere ad occhio le due cose. Infatti come abbiamo visto l’Hyperbolic crochet ha una base matematica e quindi è preciso e ben definito, al contrario il free form è, come dice la parola basato su forme libere, e si fa senza seguire nessuno schema. In ogni caso le due cose si possono benissimo abbinare, come ho fatto io nel cappello “Standby” che vedete qui a fianco.

La cosa che mi stimola di più di questa tecnica è la completa libertà d’azione, infatti si parte da dove si vuole e si arriva dove si vuole e lo si può fare sia avendo un’idea iniziale di come deve venire il lavoro finale e sia andando a “caso”, cioè partendo senza sapere a quale metà si giungerà.

Una cosa importante in questa tecnica è però quella di saper miscelare bene i colori e le forme fra loro

Di solito si parte da dei pezzi, chiamati “scrumbles” che poi vengono assemblati assieme, ma nulla vieta di lavorare ad un pezzo unico.
Cosa si può fare con il free form?
Beh direi di tutto di più, borse, cappelli, coprispalle, quadri, rivestimenti, giacconi, sciarpe, lampade, coperte, bambole, vestitini per cani, gioielli, cuscini, tappeti, sculture…

Guardate le immagini qui sotto per avere un’idea delle infinite possibilità del free form. 

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E se, come spero, guardando le immagini, vi è venuta una gran voglia di sperimentare, armatevi subito di uncinetto (o ferri) e filati di tutti i tipi (che è anche un ottimo modo per riciclare gli avanzi di gomitoli :-) ) ed iniziate subito la vostra opera!

Prima di lasciarvi vi segnalo anche il sito Free Form Crochet dove troverete un sacco di spunti e, ahimè anche qualche schema… dico ahimè perchè mi sembra assurdo fornire gli schemi dei lavori free form visto che sono in netto contrasto con questa tecnica, ma ognuno è libero di fare ciò che vuole, perciò fate come meglio credete…

Uncinetto iperbolico, alcuni modelli di Daina Taimina

Nel mio post precedente vi ho accennato la storia dell’uncinetto iperbolico e della sua inventrice, la geniale scienziata Daina Taimina. Come preannunciato oggi vi propongo alcuni dei suoi modelli, da me (liberamente) tradotti in italiano. Trovate il Pdf originale (in inglese) qui.

Daina propone due tipi di modelli, quelli del piano iperbolico che si ottengono lavorando la catenella iniziale in giri di andata e ritorno (invece, nel caso del piano iperbolico doppio attorno alla catenella, cioè lavorandoci sopra e sotto) e quelli delle pseudosfere che invece si ottengono chiudendo la catenella iniziale a cerchio e lavorando quindi in tondo.

Questi modelli possono essere realizzati usando il punto basso, il punto mezzo alto oppure il punto alto, cambiando il punto e gli aumenti cambierà naturalmente la forma finale del manufatto, quindi vi invito, così come fa anche Daina, a fare diversi esperimenti!

Per facilitare la comprensione ho deciso di usare dei simboli, così come si fa negli schemi, quindi il punto singolo sarà definito con “I” e l’aumento, cioè due punti lavorati nello stesso punto sottostante con “V“.

Bene, fatte queste premesse, prendete in mano l’uncinetto ed il filato che preferite e partiamo subito! :-)

Piano iperbolico
Fase 1. Catenella iniziale (per i primi tentativi si consiglia di partire da una catenella di 15 o 20 punti).
Fase 2. Nella prima riga fare 5 punti per poi aumentare nel sesto punto. Ripetere questo schema – 5 punti, aumentare 1; 5 punti, aumentare uno – fino alla fine della riga. [IIIIIV]
Fase 3. Girare il lavoro e ripetere lo schema nella riga successiva e per tutte le righe a seguire.

Piano iperbolico più arricciato
Nel nostro primo modello (qui sopra) abbiamo usato un tasso di crescita di uno ogni 6 punti. Per fare un modello più arruffato, aumentare più rapidamente. In questo modello faremo un aumento ogni 4 punti.
Fase 1. Iniziare con una serie di catenelle
Fase 2. Nella prima riga fare 3 punti aumentando quindi nel quarto punto. [IIIV]. Continuare a ripetere questo schema per tutto il lavoro: 3 punti singoli ed 1 aumento. Vi nvito a provare i diversi tassi di crescita.

N.B. Diversi tipi di filati si comportano in modi diversi.
Per fare un modello strutturalmente rigido, come un corallo, utilizzare filati sintetici ed un uncinetto piccolo. Per modelli più morbidi, come ad esempio le alghe, utilizzare lane morbide e un uncinetto più grosso.

Pseudosfera
In questo modello si lavora in tondo.
Fase 1. Iniziare con una serie di catenelle per formare il “laccetto” centrale (quello che si vede in alto e che potrete poi usare per appendere la vostra pseudosfera).
Fase 2. Dopo una dozzina di punti, lavorare solamente gli ultimi 3 punti (quelli vicini all’uncinetto) e quindi chiuderli a cerchio (con un punto basso o bassissimo): si formerà un minuscolo cono.
Fase 3. Lavorare quindi attorno al bordo del cono aumentando regolarmente. Qui il tasso di aumento è uno ogni 3 punti [IIIV].

Un’altra pseudosfera
Qui l’aumento è uno ogni 2 punti [IIV], così il modello si increspa più velocemente. Aumentando sempre con un tasso regolare si ottiene una forma matematicamente perfetta. Questa forma è l’equivalente di un cono iperbolico – la sua punta si estende all’infinito.

Per fare i coralli non è necessario fare una pseudosfera perfetta.
Si possono ottenere partendo da un cerchio formato da una catenella chiusa, nella quale si lavorerà tutto attorno.
Fase 1. Fare 4 catenelle.
Fase 2. Chiudere a cerchio.
Fase 3. Lavorare in tondo aumentando a intervalli regolari. Qui abbiamo aumentato in ogni punto [VVV].

Doppio piano iperbolico

Qui si lavora attorno a entrambi i lati della catenella iniziale.
Fase 1 Iniziare con una serie di catenelle.
Fase 2. Lavorare lungo un lato della catenella crescendo a un ritmo regolare. (In questo modello si aumenta uno ogni 2 punti) [IIV].
Fase 3. Alla fine della riga, aumentare 5 punti nell’ultima catenella, poi girare il lavoro e lavorare dall’altra parte (sotto la catenella), continuando con gli stessi aumenti (in questo caso uno ogni due punti).
Fase 4.Continuare a lavorare allo stesso modo per tutte le righe seguenti.
Questa forma rappresenta due piani iperbolici uniti.

Modello seme- baccello
Fase 1. Per ottenere questa forma, iniziare con 15 catenelle.
Fase 2. Nella prima riga lavorare da entrambi i lati della catenella,
aumentando in ogni punto. (VVV)
Fase 3. Nella seconda riga, aumentare in due dei tre punti. (IVV)
Fase 4. Nella terza riga un punto singolo e un aumento. (IV)
Fase 5. Nella quarta riga, aumentare in ogni terzo punto. (IIV)
E così via. (IIIV – IIIIV – IIIIIV)
In natura ci sono baccelli con questa struttura.

E allora vi piacciono queste forme della natura?

Non le trovate meravigliose anche voi?

Prima di lasciarvi vi ricordo anche che potete ottenere delle meravigliose sfumature usando diversi colori, come nel manufatto che potete vedere qui accanto. E’ stato realizzato da Daina Taimina e donato a Crochet Itinerante prima edizione, ideata e curata da Rita Cavallaro e  Simonetta Russotto…

… ma questa è un’altra storia e ve ne parlerò prossimamente!

Uncinetto iperbolico, l’invenzione di Daina Taimina

Come promesso oggi vi parlerò dell’uncinetto iperbolico.

Questa tecnica è stata inventata da una scienziata, Daina Taimina, che vedete nell’immagine qui di fianco, laureata in matematica ma con molteplici esperienze in vari campi scientifici, dalla fisica nucleare alla psicologia del pensiero matematico. Potete leggere la sua storia cliccando qui.  (Le immagini presenti in questo post sono state prese dal sito appena linkato  e da quelli linkati all’interno dello stesso).

Daina riceve dei finanziamenti della National Science Foundation, per approfondire la percezione dello spazio attraverso esperimenti e manufatti, perciò “per far visualizzare agli studenti un piano iperbolico: una superficie la cui curvatura non è positiva come quella di una palla o nulla come il piano di un tavolo, ma negativa come quella di molti organismi, dall’insalata riccia, ai funghi detti “orecchioni”, ai molluschi marini e certe cellule tumorali” utilizza un modello in carta costruito dal marito. Ma questo modello però si rompe e si stropiccia continuamente, quindi Daina cerca una soluzione alternativa. Dapprima prova a fare un modello ai ferri, ma il risultato è negativo, quindi ci prova con l’uncinetto ed ottiene ciò che vuole, ovvero un perfetto piano iperbolico anulare… la tecnica è molto semplice, basta fare la catenella iniziale ed aumentare con un numero costante di maglie, per esempio una ogni 10. Nel prossimo post troverete gli schemi per realizzare alcuni modelli di Daina.

Alcuni studenti del campus entusiasti d questa tecnica cominciano a riprodurre manufatti all’uncinetto, che spaziano “dal semplice braccialetto a nastro di Möbius ( che io ho utilizzato per fare alcune borse e cappelli) al complicato passamontagna derivato dalla bottiglia di Klein“.

La cosa grande di questa storia è che quasi un secolo prima David Hilbert aveva dimostrato con un teorema che è impossibile rappresentare in uno spazio normale, a tre dimensioni un modello isometrico di un piano iperbolico simmetrico, Daina invece ci era riuscita con l’uncinetto!

La sua scoperta viene pubblicata su «Mathematical Intelligencer» nel 2001 e sul settimanale «New Scientist». Così ne vengono a conoscenza anche le gemelle Margaret e Christine Wertheim che a Los Angeles stanno per fondare l’Institute for Figuring per promuovere tra il grande pubblico «le dimensioni poetiche ed estetiche della scienza, della matematica e delle arti tecniche». Nasce quindi il “Progetto di barriera corallina all’uncinetto iperbolico”, di cui potete vedere una fotogallery qui sotto.

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“Nel 2006 le gemelle Wertheim commissionano a Daina alcuni nudibranchi stilizzati. Attorno ad essi aggregano via via altre componenti, sempre all’uncinetto, della Grande Barriera al largo del Queensland, in Australia dove sono nate. Di mostra in mostra, quel frammento cresce grazie a volontarie, e qualche volontario, di tutto il mondo. Ormai è la più vasta opera d’arte collettiva mai realizzata, con decine di “barriere satelliti” che interpretano con libertà poetica e talvolta con rigore scientifico, la biodiversità delle barriere alle varie latitudini e i problemi dovuti all’inquinamento e al riscaldamento globale. Nei materiali più vari, perle e rifiuti, pezzi di sacchetti di plastica e nastri di seta, sono fioriti un giardino di anemoni di mare e uno di kelp, un atollo popolato da mille specie animali e persino una Barriera Tossica. Le fanno singole artiste, circoli, istituzioni, in occasione di un festival di arte e scienza come la barriera della New York Crochet Guild e dello Harlem Knitting Circle o quella del Crafts Council britannico. E, in omaggio a Daina Taimina, una in progress cominciata nel 2009 all’università della Latvia.”

Nel 2010 Daina riceve il primo premio per il titolo più originale per il suo libro, “Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes” che potete acquistare su Amazon cliccando qui. Cliccando avrete anche la possibilità di visualizzare alcune pagine del libro. Per farlo basterà posizionarsi con il mouse, cliccare su “Front cover” nella finestrella che apparirà e sfogliare le pagine.

Bene, per oggi è tutto, nel prossimo post troverete le spiegazioni, da me tradotte in italiano, per realizzare alcuni modelli di Daina, quindi ci vediamo tra qualche giorno!